チラシの裏の数式


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2007-01-10

[] 点と超平面の距離 はてなブックマーク -  点と超平面の距離 - チラシの裏の数式

n次元ユークリッド空間 {5$\bb R}^{1$n} における超平面 S:\;\vec{n}\cdot\vec{\bf x}=k 上の点 \vec{\bf p}\in S をとる。

\vec{x}\in{5$\bb R}^{1$n}\vec{\bf p} との距離を d' とすると

d'^{0$2} =\|\vec{x}-\vec{\bf p}\|^{0$2} =\frac{3$\|\vec{x}-\vec{\bf p}\|^{0$2}\|\vec{n}\|^{0$2}}{3$\|\vec{n}\|^{0$2}} \geq\frac{3$\|(\vec{x}-\vec{\bf p})\cdot\vec{n}\|^{0$2}}{3$\|\vec{n}\|^{0$2}} =\frac{3$\|\vec{x}\cdot\vec{n}-\vec{\bf p}\cdot\vec{n}\|^{0$2}}{3$\|\vec{n}\|^{0$2}} =\frac{3$\|\vec{x}\cdot\vec{n}-k\|^{0$2}}{3$\|\vec{n}\|^{0$2}}

より、 d' の最小値を d とすると

d=\frac{3$\|\vec{n}\cdot\vec{x}-k\|}{3$\|\vec{n}\|} と書ける。これを点\vec{x} と超平面S との距離と呼ぶ。


ユークリッド平面 {5$\bb R}^{1$2} 上の点 (x,y) と直線 \ell:\;a{\bf x}+b{\bf y}+c=0 との距離を d_{0$2} とすると

d_{0$2}=\frac{3$\|\vec{n}\cdot\vec{x}-k\|}{3$\|\vec{n}\|} =\frac{3$|ax+by+c|}{3$\sqrt{a^{0$2}+b^{0$2}}}

3次元ユークリッド平面 {5$\bb R}^{1$3} 上の点 (x,y,z) と平面 S:\;a{\bf x}+b{\bf y}+c{\bf z}=k との距離を d_{0$3} とすると

d_{0$3}=\frac{3$\|\vec{n}\cdot\vec{x}-k\|}{3$\|\vec{n}\|} =\frac{3$|ax+by+cz-k|}{3$\sqrt{a^{0$2}+b^{0$2}+c^{0$2}}}