hirataraのお勉強記録

2009-04-10

■ [圏論による論理学]第2章(P.84-87) 23:44

対角矢
- $\Delta _A = <id_A,id_A>$
対角矢のcharacter
- $\delta _A = \chi _{\Delta _A}$
「終対象、積、subobject classifier が存在するならequalizerが存在する」の証明
- この証明不完全じゃね？ P85のmono eの存在が、この条件だけでは言えないと思う。
- 層・圏・トポスのP94の定理1に同様の証明がある。層・圏・トポスではsubobject classifierの定義にp.b.の存在が入ってるので、eの存在が言える。また、終対象からの矢がmonoであるため、向かいにあるeもmonoとなる

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2009-04-08

■ [圏論による論理学]第2章(P.79-84) 23:58

サブオブジェクトクラシファイヤー
- 定義が違うかも？層・圏・トポスのP.93では、任意の対象Aと射f $f:A \rightarrow \Omega$ に対してプルバックが存在することも条件としている
- Setにおける例を一応証明してみた
トポス
- 「終対象、積、巾*1、subobject classifierが存在する」
- 又は、「終対象、p.b.、巾、subobject classifierが存在する」
Setはトポス*2

*1："巾を持つ"の定義に、積の存在は含まれる

*2：上記の概念は全てSetを使ってどういう考え方か確認してきたので、存在は明らか

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2009-04-03

■ [統計学入門]第5章(P94-102) 20:53

期待値:
- 離散(1): $E(X) = \sum _x xf(x)$
- 離散(2): $E(\phi (X) ) = \sum _x \phi(x) f(x)$
- 連続(1): $E(X) = \int _x xf(x) dx$
- 連続(2): $E(\phi(X)) = \int _x \phi(x) f(x) dx$ *1
期待値の計算公式: 線形的
分散: $V(X) = E\{ (X - \mu)^2 \} = E(X^2) - \{ E(X) \} ^2$
標準偏差: $D(X) = \sqrt{ V(X) }$
分散の計算公式
- $V(c) = 0$
- $V(X+c) = V(X)$
- $V(cX) = c^2 V(X)$
標準化変数: $Z = \frac {X - E(X)} {D(X)}$
歪度: $\beta_3 = \alpha_3 = E(Z^3)$
尖度: $\alpha_4 = E(Z^4), \beta_4 = \alpha_4 - 3$ *2

尖度のイメージ

尖度のイメージが本の説明ではわからなかったのでイメージしてみた。

まず、1次と2次の関係を考えると期待値と分散であり、2次の値(分散)が小さくなると期待値(1次)付近に値が集まり、釣り鐘型になる。2次(分散)と4次(尖度)にもこの関係がなりたつと考えれば、4次の値(尖度)が小さくなると、2次の値(分散)付近に値が集まる。分散となる値は $\pm \sigma$ なので、山の中腹*3に値が集まることになり、頂上や裾は小さくなる。つまり、尖度が小さくなれば山は"丸く鈍い"形になる。

以上、あくまでもイメージであり、数学的に正しくない(たぶん)ので注意する。

*1： (1)と(2)の定義は矛盾してないっぽい。 $Z=X^2$ に対しては、Zの密度関数を求めて $E(Z)$ を計算した物と $E(X^2)$ は一致した(置換積分法による)。ただし、E(c)のような密度関数が存在しないものは定義によるしかない。

*2： $E(X-E(X))^2$ と書いたら $\{E(X-E(X))\}^2$ じゃなくて $E(\{X-E(X)\}^2)$ らしい

*3：尖度は標準化して考えるので、頂上(≒期待値)はX=0付近

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2009-04-02

■ [統計学入門]第5章(P87-94) 13:26

確率変数: 数値に対して確率が与えられるもの。大文字で表す。(ex. $P(X=1) = \frac {1} {6}$ )
離散型: Xの取りうる値が可算集合の場合
離散型の確率分布: で表されるf
- $f(x_k) \ge 0, \sum _k f(x_k) = 1$
連続型: と表される場合
- このfを(確率)密度関数と呼ぶ*1
- $f(x) \ge 0, \int_{- \infty}^{\infty} f(x) dx = 1$
指数分布:
- 待ち時間 → 何かが起こるまでの時間。指数分布に従う。
一様分布: $f(x) = \left \{ \begin{array}{l l} 1 & (0 \le x \le 1) \\ 0 & (x \lt 0, 1 \lt x) \end{array}$
累積分布関数:
- 微分すると密度関数になる
(離散型の)累積分布関数:
- 階段状
モード: f(x)を最大にするx
メディアン: $P(X \le x_m) = \frac{1}{2}$ となる $x_m$

大きな誤解

例えば、確率変数Xの密度関数がfの時、確率変数 $Z=2X$ であるZの密度関数は $f(2x)$ とか $2f(x)$ みたいな感じかと思い込んでたが大きな間違い、って言うか俺は馬鹿かみたいな。*2

まず、離散型の確率変数については、 $P(Z = z_k) = P(X = \frac {z_k} {2}) = f(\frac {z_k} {2})$ となる。

次に連続型の確率変数については、 $P(z_1 \le Z \le z_2) = P(\frac {z_1} {2} \le X \le \frac {z_2} {2})$ であり、定義よりこれは定積分の等式なので、両辺を微分して解かなきゃならない。解くと、 $\frac {f(\frac {x} {2})} {2}$ である。

$Z=X^2$ で同様のことをすると、確率変数が負の部分は当然0で、正の部分は離散型の時は $f(\sqrt{z_k}) + f(- \sqrt {z_k} )$ 、連続型の時は $\frac {f(\sqrt x)} {2 \sqrt x} + \frac {f(- \sqrt x)} {2 \sqrt x}$ となる。